Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông là tổng hợp những kiến thức từ khái niệm về tam giác bằng nhau và các trường hợp hai tam giác vuông bằng nhau. Với những kiến thức này sẽ giúp các bạn học sinh có được hành trang vững vàng để hoàn thành thật tốt các bài tập hình học về tam giác bằng nhau và tam giác vuông.

1. Hai tam giác bằng nhau là gì?

Hai tam giác được gọi là bằng nhau khi mà hai tam giác đó có các cạnh tương ứng bằng nhau và các góc tương ứng cũng bằng nhau.

Để kí hiệu sự bằng nhau của tam giác ABC và tam giác DFE.

Hai tam giác bằng nhau

2. Các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Tam giác vuông là 1 tam giác khá đặc biệt do có 1 góc vuông. Vì thế mà khi so sánh hai tam giác vuông thì chỉ cần 2 tam giác đó có thêm 2 điểm chung nữa thì nó được gọi là bằng nhau. Sau đây, chúng tôi sẽ giới thiệu với các bạn các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

2.1 Hai cạnh góc vuông

Hai tam giác vuông được gọi là bằng nhau nếu hai cạnh liền kề góc vuông của tam giác này lần lượt bằng hai cạnh liền kề góc vuông của tam giác vuông kia. (cạnh - góc - cạnh )

2.2 Cạnh góc vuông và góc nhọn liền kề cạnh đó

Hai tam giác vuông được gọi là bằng nhau nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề bên cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia. ( góc - cạnh - góc )

2.3 Cạnh huyền, góc nhọn

Hai tam giác vuông được gọi là bằng nhau nếu một góc nhọn và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một góc nhọn và cạnh huyền của tam giác vuông kia. ( góc - cạnh - góc)

Hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh huyền và góc nhọn

2.4 Cạnh huyền và cạnh góc vuông

Hai tam giác vuông được gọi là bằng nhau nếu một cạnh của góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông này bằng một cạnh của góc vuông và cạnh huyền của tam giác vuông kia.

Hai tam giác vuông bằng nhau theo cạnh huyền và cạnh góc vuông

3. Các dạng bài về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông

Ở bên trên, chúng tôi đã giới thiệu về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông. Tuy nhiên, để các em học sinh có thể hiểu và nắm rõ hơn về những khái niệm này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu qua các ví dụ sau đây:

Dạng 1: Chứng minh các tam giác vuông bằng nhau

Ở dạng này chúng ta sẽ xét hai tam giác vuông, rồi kiểm tra các điều kiện bằng nhau: cạnh - góc - cạnh, góc - cạnh - góc, cạnh huyền - góc nhọn hoặc cạnh huyền - cạnh góc vuông. Từ đó, xác định xem hai tam giác đó bằng nhau theo trường hợp nào và đưa ra kết luận hai tam giác bằng nhau.

Dạng 2: Chứng minh góc và đoạn thẳng bằng nhau

Với dạng bài này cũng sẽ vận dụng những kiến thức về các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông. Từ đó, chứng minh hai tam giác bằng nhau thì các đoạn thẳng và các góc cũng bằng nhau.

Nếu bạn thấy tam giác vuông thì cần tìm thêm hai điều kiện bằng nhau, trong đó có ít nhất một điều kiện về cạnh để chứng minh hai tam giác đó là bằng nhau vậy mới có thể chứng minh hai cạnh hay góc tương ứng bằng nhau.

Dạng 3: Tìm thêm các điều kiện để hai tam giác vuông bằng nhau.

Với dạng bài này trước tiên bạn cần đọc kĩ đề bài và vẽ hình để có thể xem hai tam giác vuông đã có những yếu tố nào bằng nhau. Từ đó, bạn tính toán thêm xem cần phải bổ sung thêm điều kiện nào để hai tam giác vuông đó có thể bằng nhau

4. Giải một số ví dụ minh họa các trường hợp bằng nhau của tam giác

Ví dụ 1:

Cho tam giác MNP cân tại M. Kẻ MH vuông góc với NP. Chứng minh :

a) HN = HP

b) góc NMH = góc PMH

Trả lời:

a) Xét hai tam giác vuông ΔMNH và ΔMPH ta có: MN = MP theo giả thiết và AH là cạnh chung. Suy ra: ΔMNH = ΔMPH theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.

Suy ra: HN = HP (cặp cạnh tương ứng)

b) Ta có: Hai tam giác ΔMNH = ΔMPH (chứng minh trên). Vậy nên sẽ có góc NMH = góc PMH

Ví dụ 2:

Các tam giác vuông ABC và MNP có góc A và góc M bằng nhau và bằng 90 độ, AC = MP. Hãy thêm một điều kiện để hai tam giác ΔABC = ΔMNP.

Bài giải:

Nếu thêm AB =MN thì ta sẽ có hai tam giác ΔABC = ΔMNP theo trường hợp cạnh - góc - cạnh.

Nếu thêm góc C = góc P thì ta sẽ có hai tam giác ΔABC và ΔMNP bằng nhau theo trường hợp góc - cạnh - góc.

Còn khi thêm BC = NP thì ta sẽ có ΔABC = ΔMNP theo trường hợp cạnh huyền - cạnh góc vuông.

Ví dụ 3:

Cho tam giác DEF cân tại điểm D, góc D nhỏ hơn 90^o. Vẽ EK ⊥ DF (K ∈ DF), CH ⊥ DE (H ∈ DE).

a) Chứng minh rằng DK = KH

b) Gọi M là giao điểm của EK và CH. Chứng minh rằng đoạn thẳng DM chính là tia phân giác của góc D

Bài giải

a) Giả thiết ΔDEF cân tại D thì có DE = DF. Xét hai tam giác vuông KDE và HDF, ta có:

DE = DF (chứng minh trên), góc D chung.

⇒ ΔKDE = ΔHDF theo (cạnh huyền - góc nhọn)

⇒ DK = DH (cặp cạnh tương ứng)

b) Xét hai tam giác vuông HDM và KDM, ta có:

DK = DH (chứng minh trên), DM là cạnh chung của hai tam giác. Từ đó, suy ra ΔKDM = ΔHDM (cạnh huyền - cạnh góc vuông) và cặp góc tương ứng là góc KDM = góc HDM. Vậy tia DM chính là tia phân giác của góc D.

5. Tổng hợp các dạng bài tập tam giác vuông bằng nhau

Dưới đây là tổng hợp các dạng bài tập lý thuyết và thực hành về các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông.

5.1 Bài tập lý thuyết

Bài 1: Hãy nêu các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông? Vẽ hình ảnh minh họa cho từng trường hợp?

Bài 2: Phát biểu định lí hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng? Nêu giả thiết, kết luận? Vẽ hình minh họa.

Bài 3: Nêu khái niệm hai tam giác bằng nhau? Vẽ hình minh?

5.2 Bài tập thực hành

Bài 1: Cho tam giác ABC và tam giác DEF biết góc A = góc D = 90°, góc C = góc F. Cần bổ sung thêm điều kiện gì để hai tam giác ABC và tam giác DEF bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông - góc nhọn kề?

A. AC = DF B. AB = DE C. BC = EF D. AC = DE

Bài 2: Cho tam giác ABC và tam giác DEF có góc B và góc E bằng nhau và bằng 90°, AC = DF, góc A = góc F. Hãy tìm phát biểu đúng trong những phát biểu sau đây?

A. ΔABC = ΔFED B. ΔABC = ΔFDE C. ΔBAC = ΔFED D. ΔABC = ΔDEF

Bài 3: Cho tam giác ABC, kẻ BE và CD lần lượt là đường cao vuông góc với các cạnh AC, AB. Chứng minh rằng hai tam giác BCD và CBE bằng nhau, biết BD = EC.

Bài 4: Cho tam giác ACD cân tại A. Từ đỉnh A kẻ AH vuông góc với CD, H thuộc CD. Chứng minh rằng: HB = HC và AH là tia phân giác của góc BAC.

Bài 5: Cho hai tam giác ABC và DEF lần lượt vuông tại A và D, biết AB = DE. a) Để hai tam giác trên có thể bằng nhau theo trường hợp cạnh góc vuông và góc nhọn kề thì cần thêm điều kiện gì?

b) Để hai tam giác trên có thể bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền và góc nhọn kề thì cần thêm điều kiện gì?

Trên đây, chúng tôi đã tổng hợp và cung cấp đến các bạn những thông tin liên quan đến các trường hợp bằng nhau của tam giác vuông và một số bài tập mà bạn có thể vận dụng. Mong rằng với những gì chúng tôi cung cấp sẽ giúp việc học và làm các bài tập toán của các bạn nhỏ trở lên dễ dàng hơn.